天津十二区县重点学校2013年3月联考数学试题答案【理科】(3)

　所以异面直线与所成角的余弦值
　                                       ……9分
　（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为
　又，设平面的法向量则得                                      ……11分
　设二面角的平面角为，且为锐角
　则
　所以二面角的余弦值为                             ……13分



18．（本小题满分13分）设等比数列的前项和为，已知.
　　（Ⅰ）求数列的通项公式；
　　（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，设数列的前项和，证明：.
18．解（Ⅰ）由N*）得N*，），
两式相减得：，   即N*，），            ……2分
∵是等比数列，所以，又                       ……3分
则，∴，                                          ……4分
∴.                                  …………………………………5分   
（Ⅱ）由（1）知，
∵       ……7分，      ∴，        ………8分
令…，
则+…  ①                        …………9分
…   ②                        ………10分
①-②得…
                          …………12分
.                                       ……………13分
19．（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率.
　（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.
20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为…………… 1分
       由已知得：  解得         ……………4分
      所以椭圆的标准方程为：      ……………5分
(Ⅱ) 因为直线：与圆相切
    所以，     ……………6分
把代入并整理得： ┈7分
  设，则有 
         ……………8分
因为，， 所以，… 9分
又因为点在椭圆上， 所以，  …………… 10分
                            …………… 12分
因为    所以                        …………… 13分
所以  ，所以 的取值范围为   …………… 14分
20．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
　(Ⅲ)当时，方程有实根，求实数的最大值.
20．解：（I）………2分
因为为的极值点，所以，即，解得 ……4分
　　（II）因为函数在上为增函数，所以
　　在上恒成立        ………6 分
当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意                                          ………7分
   当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立      ………8分
令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，  ………9分
即，所以因为，所以.
综上所述，a的取值范围为                          ………10分
　　（Ⅲ）当时，方程可化为
问题转化为在上有解，即求函数的值域                                    ………11分