天津十二区县重点学校2013年3月联考数学试题答案【理科】(2)

二、填空题: 每小题5分，共30分.
9．25 [来源；10． ；  11．；  12．；  13．；  14．
三、解答题
15．（本小题满分13分）
设函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；  （Ⅱ）求在区间上的值域；
（Ⅲ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，
　　求的单调增区间．
解：  （Ⅰ）
                          …………2分
                     …………4分
依题意得，故的值为.                               …………5分
（Ⅱ）因为所以，                    …………6分
　　                                     …………8分
　　　，即的值域为                 …………9分
（Ⅲ）依题意得:     …11分
由                    …………12分
解得 
故的单调增区间为:     …………13分
16．（本小题满分13分）
　　在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．
　　（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
　　（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
　　依条件可知X～B(6，).
()
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P      
　　（注：每个概率1分，列表1分,共8分，没有过程只列表扣3分）………8分
　　=.
　　或因为X～B(6，)，所以. 即X的数学期望为4． ………9分
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
　　　   则    …………12分
  （每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分）
　答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为      ……………………………13分
17．（本小题满分13分）
　　如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，，，为的中点， 平面．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，试求异面直线与
　　所成角的余弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角的余弦值.
17.解（Ⅰ）依题意，
所以是正三角形，                          ……1分
　又                        ……2分
　所以，                            ……3分
　因为平面，平面，所以
　因为，所以平面                 ……4分
　因为平面，所以平面平面         ……5分
　（Ⅱ）取的中点，连接、  ，连接，则
　所以是异面直线与所成的角                    ……7分
　因为，，
　所以 ，，       ……8分
　所以                   ……9分
　                       
（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系                  ……1分
设（），
则                       ……2分
　　（Ⅰ）设平面的一个法向量为，
　则                                    
　，取，则，从而，         ……3分
　同理可得平面的一个法向量为，            ……4分
　直接计算知，所以平面平面              ……5分
（Ⅱ）由即      
解得                                                       
　　，                        ……7分