2015淄博三模文科数学试题及答案(3)

且＝，                 ②
由①、②解得a²＝6，b²＝3，
椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………5分
（Ⅱ）记P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k²)x²＋(8k²－4k)x＋8k²－8k－4＝0，
－2，x₁是该方程的两根，则－2x₁＝，x₁＝．
………………………………8分
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x₂＝．………………………………………………10分
因y₁＋1＝k(x₁＋2)，y₂＋1＝－k(x₂＋2)，
故k_PQ＝＝＝＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………13分
（21）（本小题满分14分）
已知函数，其中，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.
解析：（Ⅰ）方法一：，………………………1分
① 当时，，所以.………………………2分
    ②当时，由，得.
若，则；若，则.………………………………3分
所以当时，在上单调递增，
所以.………………………………………………………………………4分
当时，
时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.…………………………………………………5分
当时，在上单调递减，
所以.
综上可知，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为………………………6分
方法二：，………………………1分
因为，所以，
① 当，即时，，在上单调递增，
所以.的最小值为；………………………2分
② 当，即时，
时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.的最小值为；…………4分
③ 当，即时，，在上单调递减，
所以.的最小值为………………………5分
综上可知，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为………………………6分
（Ⅱ）令,则.………………………7分
由（I）得,………………………8分
故在R上单调递增,又,
因此,当时, ,即.
           ………………………………………………………9分
（III）①若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.………………………………10分
②若,令,
要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,即成立. ………………………………11分
令,则.………………………………12分
所以当时, 在内单调递增.
取,所以在内单调递增.
又.易知.所以.即存在,当时，恒有.
综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.…………14分
【或用下列方式】
②若,则,
要使不等式成立，则只要,即成立.……11分
令,则.………………………………12分
所以当时, 在内单调递增.
取,所以在内单调递增.
又.易知.所以.即存在,当时，恒有.
综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.…………14分
方法二：对任意给定的正数，取
由（II）知，当时，，所以……………………11分
当时， 
因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.

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