2016年广州一模数学试题及答案【文科word】(4)

故．
综上可知，当时，.………………………………………………12分
思路2：先证明．………………………………………………5分
设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．………………………………………7分
所以要证明，
只需证明．……………………………………………………8分
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．………………………………10分
由于取等号的条件不同，
所以．
综上可知，当时，.………………………………………………12分
（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）
思路3：先证明.
因为曲线与曲线的图像关于直线对称，
设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线
的距离分别为，，
则．
其中，．
①设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
所以．
所以．
综上可知，当时，.………………………………………………12分

证法二：因为，
要证明，只需证明.…………………………………4分
以下给出两种思路证明.
思路1：设，则.
设，则．
所以函数在上单调递增．……………………6分
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.……8分
因为，所以，即．……………………9分
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．……………………………………10分
故．
综上可知，当时，．………………………………………………12分
思路2：先证明，且．……………………5分
设，则．
因为当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值．
所以，即（当且仅当时取等号）．……………7分
由，得（当且仅当时取等号）．………………8分
所以（当且仅当时取等号）．……………………………9分
再证明．
因为，，且与不同时取等号，
所以
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，△内接于⊙，直线与⊙相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与⊙相切于点，且，，
求线段的长．
解析：
（Ⅰ）证明：因为是⊙的切线，
所以（弦切角定理）．………………1分
因为，
所以．……………………………2分
所以．
因为（公共角），
所以△∽△．……………………………………………………………3分
所以．
即．…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解：因为是⊙的切线，是⊙的割线，
所以 （切割线定理）．……………………………………………5分
因为，，所以，．…………………7分
由（Ⅰ）知，所以．………………………………………8分
因为，所以△∽△． ………………………………………9分
所以．
所以． …………………………………………………10分
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.
解析：
（Ⅰ）解：由，，
可得．…………………………………………………………………1分
因为，，…………………………………………………2分
所以曲线的普通方程为（或）． …………4分
（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），
消去得直线的普通方程为． ……………………………………5分
因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，