2016年广州一模数学试题及答案【文科word】(2)

在三角形ACD中，cosA＝，
在三角形ABC中，cosA＝，
所以，＝，解得：＝5，所以，AD＝5。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知数列是等比数列，，是和的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
解析：解：（Ⅰ）设数列的公比为，
因为，所以，．…………………………………………1分
因为是和的等差中项，所以．……………………2分
即，化简得．
因为公比，所以．………………………………………………………4分
所以（）．…………………………………………5分
（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽
取一个容量为6的样本，将该样本看成一
个总体，从中任意抽取2件产品，求这2
件产品都在区间内的概率．

解析：解：（Ⅰ）设区间内的频率为，
则区间，内的频率分别为和．…………………………1分
依题意得，……………3分
解得．
所以区间内的频率为．………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间，，内的频率依次为，，．
用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，
则在区间内应抽取件，记为，，．
在区间内应抽取件，记为，．
在区间内应抽取件，记为．…………………6分
设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件M，
则所有的基本事件有：，，，，，，
，，，，，，，，，共15种．…………………………………………………………………8分
事件M包含的基本事件有：，，，，，
，，，，，共10种．…………10分
所以这2件产品都在区间内的概率为．………………………12分

（19）（本小题满分12分）
如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离．
解析：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，
    所以．……………………………………………………………………1分
因为是菱形，所以．……………………………………………2分
因为，，平面，
所以平面．……………………………………………………………3分
（Ⅱ）解法一：因为底面是菱形，，，，
所以，．……………………………………………4分
所以的面积为．…………………5分
因为平面，平面，
所以，．………………………………………6分
因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面ABCD的距离．…………7分
由（Ⅰ）得，平面．
因为平面，所以．
因为，所以．………………………………………………8分
所以△的面积为．……………………9分
设点到平面的距离为，
因为，
所以．………………………………………………10分
所以．
所以点到平面的距离为．……………………………………………12分
解法二：由（Ⅰ）知平面，
因为平面，
所以平面⊥平面．…4分
连接与交于点，
连接，，
因为，，所以为平行四边形．
又，分别是，的中点，所以为平行四边形．
所以．…………………………………………………………………6分
因为平面与平面交线为，
过点作于，则平面．………………………………8分
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以，即△为直角三角形．………10分
所以．
    所以点到平面的距离为．……………………………………………12分
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．……………………………1分
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，
所以．………………………………………………………2分