2015年唐山高三9月模拟考试理科数学试题试卷(3)

注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分．


（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：
（Ⅰ）证明：
因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，
所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.
又AT ²＝ABAD，所以AT ²＝BTAD． …4分
（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．
由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．
因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT＝∠DBT＝90.
所以∠A＝∠ATB＝45. …10分


（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y²＝2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t²－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0  （*）
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t₁，t₂，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t₁|，|PN|＝|t₂|，|MN|＝|t₁－t₂|．
由题设得(t₁－t₂)²＝|t₁t₂|，即(t₁＋t₂)²－4t₁t₂＝|t₁t₂|．
由（*）得t₁＋t₂＝2(4＋a)，t₁t₂＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)²－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1． …10分


（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：
（Ⅰ）由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|
≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，
当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． …4分
（Ⅱ）f(2)＝|2－|＋|2＋m|．
当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．
当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．
综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10分


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