2015年唐山高三9月模拟考试理科数学试题试卷(2)

C：(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.


24(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数(m＞0)
(1)证明：f(x)≥4；
(2)若f（2）＞5，求m的取值范围。

唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案

所以b_n＝＋n4ⁿ＝. …11分
明显，n＝1时，也成立．
综上所述，b_n＝． …12分


（18）（本小题满分12分）
解： 
（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为A_i，（i＝0，1，2，3，4，5），
则P(A₂)＝＝． …4分
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．
P(ξ＝1)＝P(A₂＋A₃)＝P(A₂)＋P(A₃)＝ ＋＝；
P(ξ＝3)＝P(A₁＋A₄)＝P (A₁)＋P(A₄)＝ ＋＝；
P(ξ＝5)＝P(A₁＋A₄) ＝P(A₀)＋P(A₅)＝ ＋＝．
则随机变量ξ的分布列为[

ξ	1	3	5
P

…10分
则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分
（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）连接A₁C，交AC₁于点E，
则点E是A₁C及AC₁的中点．
连接DE，则DE∥A₁B．
因为DE平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁． …4分
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，
C₁(0，1，2) D(，，0)， 
＝(，，0)，＝(0，1，2)．…6分
设平面ADC₁的法向量 m＝(x，y，z)，则
不妨取m＝(2，－2， 1)． …9分
易得平面ABA₁的一个法向量n＝＝(0，1，0)． …10分
cos<m，n>＝＝，
平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值是． …12分
（20）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）因为离心率为，所以＝．
当m＝0时，l的方程为y＝x，
代入并整理得x²＝． …2分
设A(x₀，y₀)，则B(－x₀，－y₀)，
·＝－x－y＝－x＝－·．
又因为·＝－，所以a²＝25，b²＝16，
椭圆C的方程为． …5分
（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得25y²＋20my＋8(m²－25)＝0．
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则|PA|²＝(x₁－m)²＋y＝y，同理|PB|²＝y． …8分
则|PA|²＋|PB|²＝( y＋y)＝[(y₁＋y₂)²－2y₁y₂]
＝[(－)²－]＝41．
所以，|PA|²＋|PB|²是定值． …12分


（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）f(x)＝2e^x－a．
若a≤0，则f(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a＞0，则
当x∈(－∞，ln)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(ln，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增． …4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知若a≤0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，故f(x)≥0不恒成立．
若a＞0，则由f(x)≥0＝f(0)知0应为极小值点，即ln＝0，
所以a＝2，且e^x－1≥x，当且仅当x＝0时，取“＝”． …7分
当x₁＜x₂时，f(x₂)－f(x₁)＝2(e^x2－e^x1)－2(x₂－x₁)
＝2e^x1(e^x2－x1－1)－2 (x₂－x₁)
≥2e^x1(x₂－x₁)－2(x₂－x₁)
＝2(e^x1－1) (x₂－x₁)，
所以＞2(e^x1－1)． …12分