2015宁夏银川一中第四次月考理科数学试题及答案(3)

A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，
所以CB＝2cos30°＝，AC＝1.
延长MO交CB于点D.
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.
所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M(，，0)．
所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．
设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．x＝－2，y＝0.
所以m＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝－.所以cosθ＝.
19. 解：（1）（解法一）∵                          
则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要
∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立，
且的最小值为
20.  [解析]　如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A₁(2，2，0)，B₁(0,2，0)，C₁(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为.
(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA₁C₁的法向量m＝(x，y，z)，则
即
不妨令x＝，可得m＝(，0，)．
同样的，设平面A₁B₁C₁的法向量n＝(x，y，z)，则
即
不妨令y＝，可得n＝(0，，)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A－A₁C₁－B₁的正弦值为.
(3)由N为棱B₁C₁的中点，得N.
设M(a，b,0)，则＝，
由MN⊥平面A₁B₁C₁，得
即
解得故M，因此＝，
所以线段BM的长||＝.
21.⑴∵
------3分
（2）∵时，单调递减；
当时，单调递增.
(3) 对任意恒成立，
即对任意恒成立， 即对任意恒成立
令在上单调递增。
∴所以存在唯一零点，即。
当时，；
当时，；
∴在时单调递减；在时，单调递增；
由题意，又因为，所以k的最大值是3
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：，.
在正△中，，，
△BAD≌△CBE，，
即，所以，，，四点共圆.
（Ⅱ）解：如图6，取的中点，连结，则.
△AGD为正三角形，
，即，
所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为.
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为.…（10分）
2３解：（Ⅰ）C: 
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得
因为  由题意知，
 代入得 
24．解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数()和恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为,当且仅当时等号成立,即时,成立,也就是的最小值是2.