东三省四市等值诊断2013长春四调数学试题答案【理科】(3)

同理由消去可得，
代入弦长公式得：，
所以
　　令，则，所以，
　　由①②可知，的取值范围是.        (12分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其中重点对导数对函数的描述进行考查，本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型例题，对今后此类问题的求解有很好的导向作用.
　　【试题解析】解：(1) 当时，，
　　，
　　由解得，由解得.
　　故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.   (4分)
　　(2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，
　　则当时，不等式恒成立，即恒成立，、
　　设()，只需即可．
　　由，
　　(i) 当时， ，
　　当时，，函数在上单调递减，故成立． 
　　(ii) 当时，由，因，所以，
　　① 若，即时，在区间上，，
　　则函数在上单调递增，在上无最大值，当时， ，此时不满足条件；
　　② 若，即时，函数在上单调递减，
　　在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时， ，不满足条件．
　　(iii) 当时，由，∵，∴，
　　∴，故函数在上单调递减，故成立．
　　综上所述，实数a的取值范围是．          (8分)
　　(3) 据(2)知当时，在上恒成立
　　(或另证在区间上恒成立)，
　　又，
　　因此
　　
(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.本小题针对考生的平面几何思想与数形结合思想作出考查.
【试题解析】解：(1) 由是圆的切线，因此弦切角的大小等于夹弧所对的圆周角，在等腰中，，可得，所以.             (5分)
(2) 由与相似可知，，由切割线定理可知，，则，又，可得.        (10分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.
　　【试题解析】解：(1) 对于曲线的方程为，
　　可化为直角坐标方程，即；
　　对于曲线的参数方程为（为参数），
　　可化为普通方程.                 (5分)
　　(2) 过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大，即余 弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，
　　，则，因此，
　　因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是.               (10分)                          
(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.
　　【试题解析】解：(1) 由条件知，
　　由，解得.            (5分)
　　(2) 由得 ，由函数的图像
可知的取值范围是.               (10分)

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