2016吉林省实验中学二模理科数学试题及答案(2)

三．解答题

17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即   
    由余弦定理得   
故  ，A=120°                          ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
    
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。                   ……12分
18．（本小题满分12分）
（1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6

19．（本小题满分12分）
解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
Ｅ是ＣＤ的中点，所以 ……6分
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且.
由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以
　　　　　　　
于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为
解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以     ……6分
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故
解得.                                          ……8分
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
    .            ……12分

20．（本小题满分12分）
解：设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为  ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 .                      ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为.                         ……12分

21．（本小题满分12分）
答案：（1）        ……3分

若，，这与题设矛盾（舍）；
‚若，方程的判别式，
当，即时，，在单调递减，
，即不等式成立；
当时，方程的根

当单调递增，，与题设矛盾（舍）；
综上所述，.         ……8分
（3）证明：由（2）知，当时，成立，
       不妨令，所以
       故
      令
      累加即得结论。               ……12分
22.（本小题满分10分）

1.证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；……5分
（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，
∵AB为圆的直径，∴AB=ED．   ……12分
23. （本小题满分10分）
1.解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴ρ2=2，化为x2+y2=，
配方为=3．      ……5分
（II）设P，又C．
∴|PC|==≥2，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．  ……10分

24. （本小题满分10分）
【答案】（1）当时，
        或或
         或     ……5分
      （2）原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立

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