江西省奉新一中2014届高三上学期第二次月考数学试题答案
江西奉新一中2014届高三上学期第二次月考
数学(文)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知i是虚数单位,则复数=( )
2. 已知集合则( )
3.条件p: 条件q: 则p是q的( )
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件
4.已知,则下列不等式中总成立的是 ( )
A. B. C .. D.
5.点(x,y)满足,若目标函数z=x﹣2y的最大值为1,则实数a的值是( )
A. -1 B. 1 C. ﹣3 D. 3
6.函数在x∈[1,4]上单调递减,则实数a的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
7.若正项数列满足,且a2001+a2002+a2003+…a2010=2013,则a2011+a2012+a2013+…a2020的值为 ( )
A.2013·1010 B. 2013·1011 C.2014·1010 D. 2014·1011
8.函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,则tan∠APB=( )
9.设函数,若实数满足,则( )
10.定义域为R的奇函数f(x )的图象关于直线.x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=x,方程 f(x)=log2013x实数根的个数为( )
A. 1006 B. 1007 C. 2012 D. 2014
二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)。
11.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,3a=2c=6,则b的值为 。
12.函数的值域是 .
13.若函数,且,则的值为 .
14.已知△ABC中,AB边上的中线CM=2,若动点P满足,则的最小值是 .
15. 与的等比中项为2,,数列的前n项和为,则当取最大值时n的值等于
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,
且 bsinAcosB=(2c﹣b)sinBcosA.
(1)求角A;
(2)已知向量=(sinB,cosB),=(cos2C,sin2C),求|+|的取值范围.
18. 已知函数f(x)=x-ax+(a-1),。
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,设,求证g(x)为单调递增函数;
19.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近视地表示为,已知此生产线的年产
20.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c>0),其导函数y=h′(x)的图象如图所示,
f(x)=lnx﹣h(x).
(1)求函数f(x)在x=1处的切线斜率;
(2)若函数f(x)在区间(,m+)上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)若函数y=2x﹣ln x(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围.
21.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=﹣3n+21),其中λ为实数,n为正整数.Sn为数列{bn}的前n项和.
(1)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;
(2)对于给定的实数λ,试求数列{bn}的通项公式,并求Sn.
(3)设0<a<b(a,b为给定的实常数),是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
奉新一中2014届高三上学期第二次月考数学参考答案(文)
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.解:(I)在锐角△ABC 中,由 bsinAcosB=(2c﹣b)sinBcosA利用正弦定理可得
sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA﹣sinBsinBcosA,
故有sinBsin(A+B)=2sinCsinBcosA,解得cosA=,∴A=.
(Ⅱ)由题意可得 +=(sinB+cos2C,cosB+sin2C),=(sinB+sin2C)2+(cosB+cos2C)2=2+2sin(B+2C)=2+2sin(+C).
由于 <C<,∴<+C<,
∴﹣<sin( +C)<,∴1<2+2sin(+C)<3,
故|+|的取值范围为(1,).
18.解(1)的定义域为,
…2分
(i)若即,则故在单调增加。…3分
(ii)若,而,故,则当时,;当及时, 故在单调减少,在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.
(2)
则
由于1<a<5,故,即g(x)在(0, +∞)单调增加,
19.解:(Ⅰ)每吨产品的平均成本当且仅当取等号即x=200<210 满足。年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本最低,最低成本为32万元;
(Ⅱ)设总利润为万元,
则 在上是增函数时,有最大值为
年产量为210吨时,可以获得最大利润1660万元。
令f′(x)=0,得x=或x=1.
当x变化时,f(x)、f′(x)随x的变化情况如下表:
x (0,) (,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 ﹣ 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞);f(x)的单调递减区间为().
要使函数f(x)在区间(,m+)上是单调函数,
则,解得<m≤.
故实数m的取值范围是(,].
(3)由题意可知,2x﹣lnx>x2﹣3x﹣c+lnx在x∈[1,4]上恒成立,
即当x∈[1,4]时,c>x2﹣5x+2lnx恒成立.
设g(x)=x2﹣5x+2lnx,x∈[1,4],则c>g(x)max.易知g′(x)=2x﹣5+.
令g′(x)=0得,x=或x=2.
当x∈(1,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;当x∈(2,4)时,
g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
而g(1)=12﹣5×1+2ln 1=﹣4,g(4)=42﹣5×4+2ln 4=﹣4+4ln 2,
显然g(1)<g(4),故函数g(x)在[1,4]上的最大值为g(4)=﹣4+4ln 2,
故c>﹣4+4ln 2.
∴c的取值范围为(﹣4+4ln 2,+∞).
22. 证明:(1)假设存在一个实数,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,