2014南通三模数学试题答案【文科】【理科】(2)

　　（Ⅰ）时，，
　　　由①可知不存在满足条件的．                  …………………………… 13分  （Ⅱ）时，，两式相除得．
　　设，
　　则，
　　在递增，在递减，由得，，
　　此时，矛盾．
　　综上所述，满足条件的值只有一组，且．……………………………16分
20．各项均为正数的数列{an}中，设，，
　　且，．
　　（1）设，证明数列{bn}是等比数列；
　　（2）设，求集合．
　　　【解】（1）当时，，
　　　即，解得．                   ……………………………2分
　　　由，所以  ①    
　　　当时，  ②
　　　①-②，得（），……………………………4分
　　　即，
　　　即，所以，
　　　因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．
　　　所以（）．
　　　因为，所以，
　　　所以数列{bn}是等比数列．                         ……………………………6分
　　　（2）由（1）知，所以，即．
　　　由，得（*）
　　　又时，，所以数列从第2项开始依次递减．   …………8分
　　　（Ⅰ）当时，若，则，
　　　（*）式不成立，所以，即．        ……………………………10分
　　令，则，
　　所以，即存在满足题设的数组（）．……… 13分
　　（Ⅱ）当时，若，则不存在；若，则；
　　若时，，（*）式不成立．
　　综上所述，所求集合为（）． ………………16分
　　（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）

南通市2014届高三第二次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
21A．选修4—1：几何证明选讲
　　如图，圆的两弦和交于点，，交的
　　延长线于点．求证：△∽△．
　　【解】因为，所以， ………………3分
　　又，所以，   ………………6分
　　又，所以△∽△．  ………………10分
21B．选修4—2：矩阵与变换
　　若矩阵把直线变换为另一条直线，试求实数值．
　　【解】设直线上任意一点在矩阵作用下的点的坐标为，
　　则，所以          ……………………………4分
　　将点代入直线，
　　得．
　　即直线的方程为．
　　所以．                                   ……………………………10分
21C．选修4—4：坐标系与参数方程
　　在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线
　　与曲线相交于，两点，求的值．
　　【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）
　　设，两点对应的参数值分别为，．
　　将代入，
　　整理可得．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）
　　所以．                           ……………………………10分
21D．选修4—5：不等式选讲
　　　已知，，，．求证．
　　【证明】因为，，所以，所以要证，
　　即证．                 
　　即证，                        ……………………………5分
　　即证，                              
　　而显然成立，
　　故．                      ……………………………10分
22．在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点
　　为平面内的动点，且满足，．
　　（1）求动点的轨迹的方程；
　　（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点
　　　　　分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：
　　　　　．
　　【解】（1）设点，，．
　　由可知，点是的中点，
　　所以即所以点，．
　　所以，．    …………3分
　　由，可得，即．
　　所以动点的轨迹的方程为．……………5分
　　（2）设点，
　　由于过点的直线与轨迹：相切，
　　联立方程，整理得．…………7分
　　则，
　　化简得．
　　显然，，是关于的方程的两个根，所以．
　　又，故．
　　所以命题得证．                                 ……………………………10分
23．各项均为正数的数列对一切均满足．证明：
　　（1）；
　　（2）．
　　【证明】（1）因为，，
　　所以，
　　所以，且．
　　因为．
　　所以，
　　所以，即．                ……………………………4分
　　（注：用反证法证明参照给分）
　　（2）下面用数学归纳法证明：．
　　① 当时，由题设可知结论成立；
　　② 假设时，，
　　当时，由（1）得，．
　　由①，②可得，．                     ……………………………7分
　　下面先证明．
　　假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．
　　因为，，
　　，…，，
　　与题设矛盾，所以，．          
　　若，则，根据上述证明可知存在矛盾．
　　所以成立． 

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