2014南通三模数学试题答案【文科】【理科】

2014南通三模数学试题答案【文科】【理科】


2014南通三摸数学试题考试是南通三摸数学对高三考生一次重要的数学诊断性摸底考试，旨在了解学生目前所具有的实际水平。
南通三摸数学试题考试是2014年高考前非常重要的一次数学模拟考试，它结合了2014年高考大纲的最新规定的内容与要求，请广大考生引起重视。

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注意

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，，则  ▲  ．
　　【答案】
2． 已知复数满足（是虚数单位），则  ▲  ．
    【答案】
3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取
　　出2个球，则取出的球颜色相同的概率为  ▲  ．
　　【答案】
4． 平面截半径为2的球所得的截面圆的面积为，
　　则球心到平面的距离为  ▲  ．
　　【答案】
5． 如图所示的流程图，输出的值为3，则输入x的值为  ▲  ．
　　【答案】1
6． 一组数据的平均值是5，则此组数据的标准差是  ▲  ．
　　【答案】
7． 在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程
　　为  ▲  ．
　　【答案】
8． 已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是  ▲  ．
【答案】
9.   已知正实数满足，则的最小值为  ▲  ．
　　【答案】8
10． 在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则  ▲  ．
　　　【答案】10
11．已知函数的图象如图所示，则  ▲  ．
    【答案】
12．在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线
　　上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是  ▲  ．
　　【答案】
13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则
　　数列{bn}的公比为  ▲  ．
　　【答案】
14．在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点
　　在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为  ▲  ．
　　【答案】3
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
　　　　明过程或演算步骤．
15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
    （1）求证：AB∥EF；
    （2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
　　【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，
　　因为平面CDEF，平面CDEF，
　　所以AB∥平面CDEF．……………………… 4分                             
　　因为平面ABFE，平面平面，
　　所以AB∥EF．                                     …………………………… 7分
　　（2）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，
　　所以DE⊥BC．                                     …………………………… 9分
　　因为BC⊥CD，，平面CDEF，
　　所以BC⊥平面CDEF．                             …………………………… 12分
　　因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF．        …………………………… 14分

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．
　　　（1）求的值；  
　　（2）求函数的值域．
　　【解】（1）因为，所以．        …………………………… 3分
　　由余弦定理得，
　　因为，所以．                       …………………………… 6分
　　（2）因为，所以， 
　　所以．
　　因为，所以．                      …………………………… 10分
　　因为，…… 12分
　　由于，所以，
　　所以的值域为．                          …………………………… 14分
17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆
　　弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧
　　的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
　　（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
　　（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．
　　【解】（1）如图，连接，设圆心为，连接．
　　在直角三角形中，，，
　　所以．
　　由于，所以弧的长为．
　　所以，当时，取极大值，即为最大值．       ……………………………13分
　　答：当时，绿化带总长度最大．                 ……………………………14分
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作
　　两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．
　　　（1）求椭圆的方程；
　　（2）求的取值范围．
　　【解】（1）由题意知，，，
所以．    ……………………………2分
　　因为点在椭圆上，即，
所以．
所以椭圆的方程为．                      ……………………………6分
　　（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
　　由题意知；                             ……………………………7分
　　② 当两弦斜率均存在且不为0时，设，，
　　且设直线的方程为，
　　则直线的方程为．
　　将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
因为，所以，
所以，
所以．
综合①与②可知，的取值范围是．     ……………………………16分
19．已知函数在时取得极小值．
　　（1）求实数的值；
　　（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；
　　　　若不存在，说明理由．
【解】（1），                
　　由题意知，解得或．               …………………………… 2分
　　当时，，
　　易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；
　　当时，，
　　易知在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．
　　所以，满足条件的．                            …………………………… 5分
　　（2）因为，所以．                    …………………………… 7分
　　① 若，则，因为，所以．    …………… 9分
　　设，则，
　　所以在上为增函数．
　　由于，即方程有唯一解为．…………………………… 11分
　　② 若，则，即或．