2015南通三模数学试题及答案(3)

所以，4．…………………………………………………………………… 11分
又2，故．
所以，OB²+OC² 5．………………………………………… 14分
方法二
由①知，k₃k₄k₁k₂．
将直线yk₃x方程代入椭圆中，得．…………………… 9分
同理，．
所以，4．…………………… 11分
下同方法一．


18．（本小题满分16分）
为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．


解：（1）设，
在△中，，
即，…………………………………………………… 2分
所以，，………… 4分
所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．
答：当都为50 m时，△的周长最大． 6分
（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．
过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，
则分别为AB，CD的中点，
所以，由，得． 8分
在△中，．
又在△中，，故． 10分
所以，

，．………… 12分
（一直没有交代范围扣2分）
令，，
，，
又y=及y=在上均为单调递减函数，
故在上为单调递减函数．
因＞0，故＞0在上恒成立，
于是，在上为单调递增函数． ……… 14分
所以当时，有最大值，此时S有最大值为．
答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m²．… 16分


19．（本小题满分16分）
已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，，n∈N^，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）若，求S_n；
（2）是否存在等比数列{a_n}，使对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）若a₁≤a₂≤…≤a_n≤…，求证：0≤S_n＜2．
解：（1）当a_n时，b_n．……………………………………… 2分
所以，S_n．……………………………………… 4分
（2）满足条件的数列{a_n}存在且只有两个，其通项公式为a_n=1和a_n=．
证明：在中，令n=1，得b₃=b₁．
设a_n=，则b_n=．………………………………………………… 6分
由b₃=b₁，得．
若q=，则b_n=0，满足题设条件．此时a_n=1和a_n=．………………… 8分
若q，则，即q² =1，矛盾．
综上，满足条件的数列{a_n}存在，且只有两个，一是a_n=1，另一是a_n=． 10分
（3）因1=a₁≤a₂≤…≤a_n≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．
所以，≥0，n1，2，3，…．
所以，S_nb₁+b₂+…+b_n≥0．………………………………………………………… 13分
又，
≤．
故，S_nb₁+b₂+…+b_n≤
＜2．
所以，0≤S_n＜2．………………………………………………………………… 16分


20．（本小题满分16分）
已知函数（a∈R）．
（1）若a=2，求函数在(1，e²)上的零点个数（e为自然对数的底数）；
（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；
（3）若有两零点x