湖北武汉2014届高三2月调研测试文科数学试题答案【二月调考】(2)

二、填空题
　　11．0.6     12．3     13．33π     14．3     15．（Ⅰ）21；（Ⅱ）3
　　16．－     17．（Ⅰ）0；（Ⅱ）
三、解答题
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．
　　　　　∵△ABC是锐角三角形，
　　　　　∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，     ①
　　　　　又A＋B＋C＝π，                    ②
　　　　　由②－①，得B＝．………………………………………………………………6分
　　（Ⅱ）由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得
　　　　　()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，
　　　　　即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．
　　　　　当c＝2时，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，
　　　　　∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．
　　　　　故c＝4．…………………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵0＜a1＜2，
　　　　　∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|＝2－(2－a1)＝a1．
　　　　　∵a1，a2，a3成等比数列，
　　　　　∴a＝a1a3，即(2－a1)2＝a，
　　　　　解得a1＝1．…………………………………………………………………………6分
　　（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则
由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝2a1，
解得a1＝1．
从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；
　　　　　因此，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．……………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
　　　　　∴PA⊥BD．
　　　　　∵PC⊥平面BDE，
　　　　　∴PC⊥BD．
　　　　　又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．………………………………………………6分
　　（Ⅱ）如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．
　　　　　∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
　　　　　由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
　　　　　由题设条件知，四边形ABCD为正方形．
　　　　　由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝．
　　　　　在Rt△PAC中，PC＝＝＝3．
　　　　　易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
　　　　　∴＝＝，即＝＝，∴OE＝，CE＝．
　　　　　∴VE-BCD＝S△CEO·BD＝·OE·CE·BD＝···2＝．………13分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x)＝ex－1．
　　　　　令f ′(x)＝0，解得x＝0．
　　　　　当x＜0时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；
　　　　　当x＞0时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
　　　　　故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0．……………………………………………4分
　　（Ⅱ）设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－ax2，则h′(x)＝ex－1－2ax．
　　　　　（ⅰ）当a＝时，y＝ex－1－x的图象与y＝ax2的图象公共点的个数等于
　　　　　　　　h(x)＝ex－1－x－x2零点的个数．
　　　　　　　　∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零点x＝0．
　　　　　　　　由（Ⅰ），知ex≥1＋x，∴h′(x)＝ex－1－x≥0，
　　　　　　　　∴h(x)在R上是增函数，∴h(x)在R上有唯一的零点．
　　　　　　　　故当a＝时，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有唯一的公共点．………9分
　　　　　（ⅱ）当x＞0时，y＝f(x)的图象恒在y＝g(x)的图象的上方
　　　　　　　　⇔当x＞0时，f(x)＞g(x)，即h(x)＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．
　　　　　　　　由（Ⅰ），知ex≥1＋x（当且仅当x＝0时等号成立），
　　　　　　　　故当x＞0时，ex＞1＋x．
　　　　　　　　h′(x)＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，
　　　　　　　　从而当1－2a≥0，即a≤时，h′(x)≥0（x＞0），
　　　　　　　　∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(0)＝0，
　　　　　　　　于是当x＞0时，h(x)＞0．
　　　　　　　　由ex＞1＋x（x≠0），可得e－x＞1－x（x≠0），
　　　　　　　　从而当a＞时，h′(x)＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，
　　　　　　　　故当x∈(0，ln2a)时，h′(x)＜0，
　　　　　　　　此时h(x)在(0，ln2a)上是减函数，又h(0)＝0，
　　　　　　　　于是当x∈(0，ln2a)时，h(x)＜0．
　　　　　　　　综上可知，实数a的取值范围为(－∞，]．……………………………14分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知，得F(，0)，C(，1)．
　　　　　由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．
　　　　　又E(0，－1)，G(0，1)，则
　　　　　直线ER的方程为y＝x－1，       ①
　　　　　直线GR′的方程为y＝－x＋1．      ②
　　　　　由①②，得M(，)．
　　　　　∵＋()2＝＝＝1，
　　　　　∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上．…………………………6分
　　（Ⅱ）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则
　　　　　直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝，
　　　　　直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝．
　　　　　由消去y并化简，得(2k＋1)x2＋4kx＋2k－2＝0．
　　　　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
　　　　　∵OP，OQ的斜率存在，