河南省八校2015高三第一次联考数学试题及真题试卷（理科）(2)

i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率    3分
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为………     7分
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于与互斥，与互斥，故
所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望         12分
19.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则                    
由平面侧面，且平面侧面，    
得，又平面， 所以.       
因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.   
又，从而侧面 ，又侧面，故.  -------6分

1. （2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影

∴ 即为直线与所成的角，则    在等腰直角中，，且点是中点，∴ ，且，    
∴       过点A作于点，连，由（1）知，则，且    ∴ 即为二面角的一个平面角      且直角中：，又，   ∴  ，
且二面角为锐二面角 ∴ ，即二面角的大小为    ----12分
 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，  
      设平面的一个法向量，由，  得：
 令 ，得 ，则    设直线与所成的角为，则      得，解得，即   
又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则
，且，得 
∴ 锐二面角的大小为.   ------------12分
20.解：(1）设椭圆的方程为，则.由，得
∴椭圆C的方程为.        ……2分
(2)（i）解：设，直线的方程为， 代入，
得        由，解得        
由韦达定理得.  四边形的面积
∴当，.          …… 4分
（ii）解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为
则的斜率为，的直线方程为  由…………6分
（1）代入（2）整理得                                                
同理的直线方程为，可得
所以的斜率为定值.  …………12分
21、解：（1）的定义域为.
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得
即时，；时，；
故在单调递增，在单调递减；…………（6分）
（2）不妨设，而，由（1）知在单调递减，从而对任意，恒有 …..（8分）
令，则    等价于在单调递减，
即，从而，
故的取值范围为…………….(12分)
另解：  设，
22、（1）连接，因为，所以 ．
为半圆的切线，∴． ∵，．
．平分． 5分
（2）连接，由（1）得，∴．
∵四点共圆．∴．∵AB是圆O的直径，∴是直角．∴∽，
．∴．   10分
23.（I）直线的普通方程为：；曲线的直角坐标方程为---4分
（II）设点，
则
所以的取值范围是.---------10分
24．解：解：（Ⅰ）当时，原不等式可变为，可得其解集为     
   （Ⅱ）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，
因在上为增函数， 则，当时，，
故只需即可，即时，恒成立．  

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