河南省八校2015高三第一次联考数学试题及真题试卷（理科）

河南省八校2015届高三（上）第一次联考
数学（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 在复平面内，复数对应的点位于（　　）
　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2． 若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（　　）
　 A． B． C． D． π
3． 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（　　）
　 A． 0.2 B． 0.4 C． 0.8 D． 0.9
4． 设p：f（x）=x³﹣2x²﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（　　）
　 A．充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 以上都不对
5． 将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（　　）
　 A． B． C． D．
6． x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）
　 A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1
　
7． 若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（　　）
　 A． 4 B． 5 C． 7 D． 9
8． 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₂=10，a₃+a₄=26，则过点P（n，a_n）和Q（n+1，a_n+1）（n∈N^*）的直线的一个方向向量是（　　）
　 A．（﹣，﹣2） B． （﹣1，﹣2） C． （﹣，﹣4） D． （2，）
9． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（　　）
　 A． 0 B． 6 C． 9 D． 12
10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（　　）
　 A． B． C． D．
11． 已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（　　）
　 A． 1 B． 2 C． 0 D． 0或2
12． 已知函数f（x）=，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄，满足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则的取值范围是（　　）
　 A．（0，12） B． （4，16） C． （9，21） D． （15，25）
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于　_________　．
14． 若（2x﹣3）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵，则a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅等于　_________　．
15． 已知函数f（x）=e^sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是　_________　．
16．下列说法：
①“∃x∈R，使2^x＞3”的否定是“∀x∈R，使2^x≤3”；
②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2^﹣x
其中正确的说法是　_________　．
　
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
　
18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
　
19．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2．
（1）求证：AB⊥BC；
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x²=8y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； 
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜﹣1．如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）﹣f（x₂）|≥4|x₁﹣x₂|，求a的取值范围．
四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．

五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²﹣4ρcosθ=0．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．
　
六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲
24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？
　
参   考   答   案
一、选择题  DCDCD   DCCBB   CA
二、填空题
13、  14、10   15、   16、①④
17.解：（Ⅰ）由得：  
（Ⅱ）由余弦定理得：    ，
18.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有