2015年广州1月模拟考试理科数学试题及答案(3)

∴ 二面角的平面角的正弦值为.      ……………………………………14分
19.（本小题满分14分）
（1）解：∵，    ∴ .       ………………………………………1分
当时，，     ………………………………………3分
得，                             ………………………………………………4分
∴ 数列是首项为，公比也为的等比数列．   ………………………………………5分
∴.                          ……………………………………………6分
（2）证明：当时，，              ………………………………………………7分
20．（本小题满分14分）
（1）解：∵ 椭圆过点，
（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴方程组 （*）  有且只有一组解．
由（*）得．        ……………………………………6分
从而,化简得．①  …………………7分                 
，. ……………9分
∴ 点的坐标为.            ……………………………………10分
由于，结合①式知，
     ∴.              ……………………………………11分
     ∴ 与不垂直.                            ……………………………………12分
     ∴ 点不是线段的中点.                     ……………………………………13分
     ∴不成立.                         ……………………………………14分
解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.     ………………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴方程组 （*）  有且只有一组解．
由（*）得．        ……………………………………6分
从而,化简得．①  …………………7分                 
，          …………………………………………………8分
由于，结合①式知，
     设,线段的中点为,
     由消去,得.………………………………9分
     ∴ .                       ……………………………………10分
     若,得 ,化简得,矛盾.  ………………………………11分  
∴ 点与点不重合.                           ……………………………………12分
∴ 点不是线段的中点.                      ……………………………………13分
    ∴ 不成立.                         ……………………………………14分
21. （本小题满分14分）
(1)解: 函数的定义域为, 
      ,         ………………………………………………1分
     令, 得, 其判别式,
  ① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增; 
………………………2分
② 当, 即时, 方程的两根为,,
………………………3分
  若, 则, 则时, , 时, , 
  此时, 在上单调递减, 在上单调递增;        ………………………4分
  若,则, 则时, ,时, , 
时, ,