2014北京东城二模数学试题及答案【理科】(2)
(11) (12)
(13) (14)
注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
所以,当时,即时,函数取得最小值;
当时,即时,函数取得最大值.…………………13分
(16)(共13分)
即随机抽取的市民中年龄段在的人数为
即抽取的人中年龄段抽取的人数为
(Ⅲ)的所有可能取值为
(17)(共14分)
解:(I)由,.,
可得.
由,且,
可得.
又.
所以.
又平面平面,
平面 平面 ,
平面,
所以平面. ……………5分
(II)如图建立空间直角坐标系
设是平面的一个法向量,则
设直线与平面所成的角为,
则.
所以和平面所成的角的正弦值
设是平面一个法向量,则,,
即
令,则.
若平面平面,则,即,.
所以,在线段上存在一点使得平面平面.……………14分
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)函数的定义域为,,
因为,
所以,当,或时,;
当时,.
所以,的单调递增区间为,单调递减区间为,.
……6分
(Ⅱ)因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
又,,
所以,当时,.
由,可得.
所以当时,函数在区间上是增函数,
所以,当时,.
所以,当时,
对于任意的,都有,,所以.
当时,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,
所以,当时,.
所以,当时,
对于任意的,都有,,所以.
综上,对于任意的,都有. ……………13分
(19)(共13分)
解(Ⅰ)依题意有,.
可得,.
故椭圆方程为.
(Ⅱ)直线的方程为.
联立方程组
消去并整理得.
设的中点为.
可得,.
直线的斜率为,又 ,
所以.
当△为正三角形时,,
可得,
解得.
即直线的方程为
(20)(共14分)
(Ⅱ)假设是一个位数(),
那么可以设,
其中且(),且.
由可得,.
所以.
因为,所以.
而,
所以,即. ………………9分
(Ⅲ)由,即,可知.
同理,可知.
由数学归纳法知,对任意,有.
即对任意,有.
因此,存在(),有.
则,,…,,
可得对任意,,有.
设,即对任意,有.
若,取,,则有.
若,由,可得,
取,,则有
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