2014东城二模数学试题及答案【文科】
2014东城二模数学试题及答案【文科】
注意
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参考公式：
n个数据，，…，的平均数是，这组数据的方差，由以下公式计算：
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合，集合，则=
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输
出的结果为0时，输入的值为
（A）或
（B）或
（C）或
（D）或
（4）设等差数列的前项和为，若，则的值是
（5）已知，那么的值是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是
（A） （B）
（C） （D）
（8）对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）函数的定义域是 ．
（10）已知平面向量，，且∥，则 ．
（11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．
（12）已知数列的前项和为,且对任意,有，则 ； ．
（13）过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是 ．
（14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，
①若，则满足条件的点的个数为________；
②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）
汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为．
(Ⅰ) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？
(Ⅱ) 求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
（17）（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
（18）（本小题共13分）
已知，函数，．
（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；
（Ⅱ）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求△面积的最大值.
（20）（本小题共14分）
设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）求证：存在，使得．
东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（二）
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）C （4）C
（5）B （6）D （7）A （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（Ⅱ）当时，．
所以，当时，即时，函数取得最小值；
