北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学试题试卷(文)

北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研
数学试卷（文科）

　　本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时长120分钟。
　　
第Ⅰ卷（选择题  共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
　1. 已知集合，集合，则集合A∩B＝
　　A. {1，2，4}  B. {2，4}  C. {0，2}  D. {－1，0，1，2，4，6}
　2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，1），c＝（－5，－1），则c＋a－2b＝
　　A. （－8，－1） B. （8，1）  C. （0，3）  D. （0，－3）
　3. 抛物线的焦点坐标为
　　A. （0，2）  B. （2，0）  C. （0，1）  D. （1，0）
　4. 下列命题：①；②；③；④“”的充要条件是“且”中，其中正确命题的个数是
　　A. 0    B. 1    C. 2    D. 3
　5. 已知，则
　　A.    B.    C.    D.
　6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是
　　A. 12   B.   C.    D.
　7. 函数的图象大致是
　8. 在圆内，过点作n条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短的弦，为过该点最长的弦，且公差，则n的值为
　　A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

第Ⅱ卷（非选择题   共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
　9. 若曲线在原点处的切线方程是，则实数a＝__________。
　10. 已知是等比数列，，则公比q＝_________。
　11. 已知x、y满足约束条件则的最小值为_________。
　12. 某算法的程序框如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系是_________。

　13. 在△ABC中，∠A＝，BC＝3，，则∠B＝_________。
　14. 函数则不等式的解集是_________。
　
三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
　15. （本题满分12分）
　　设函数。
　　（Ⅰ）设函数的最小正周期；
　　（Ⅱ）当时，求函数的最大值及取得最大值时的x的值。
　　
　16. （本小题满分14分）
　　如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

　　（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
　　（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD；
　　（Ⅲ）求三棱锥的体积。
　　
　17. （本小题共12分）
　　关于x的方程。
　　（Ⅰ）当时，写出方程的所有实数解；
　　（Ⅱ）求实数k的范围，使得方程恰有8个不同的实数解。
　18. （本小题共14分）
　　已知函数是常数。
　　（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
　　（Ⅱ）证明：函数的图象在直线的下方；
　　（Ⅲ）若函数有零点，求实数a的取值范围。
　19. （本题满分14分）
　　已知椭圆的左右焦点分别为。在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标为，AB所在直线的斜率为。
　　（Ⅰ）求椭圆M的方程；
　　（Ⅱ）当△ABC的面积最大时，求直线AB的方程。
　20. （本题满分14分）
　　已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且。
　　（Ⅰ）求数列的通项公式；
　　（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
　　（Ⅲ）记，求的前n项和。
　　
参考答案
一、选择题：
　1. C  2. A  3. D  4. D  5. D  6. A  7. B  8. B
三、解答题：
　15. （共12分）
　　（Ⅰ）因为
　　所以。
　　函数的最小正周期为。    7分
　　（Ⅱ）因为，所以。
　　所以，当，即时  10分
　　函数的最大值为1。     12分
　16. （共14分）
　　（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
　　∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC，
　　又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，
　　∴AE⊥平面BCE。      4分