四川成都外国语学院2014高三下学期2月月考理科数学试题答案(2)

21、 (本小题满分14分）已知函数在处存在极值。
　　(1)求实数的值；
(2)函数的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在轴上，求实数的取值范围；
　　(3)当时，讨论关于的方程的实根个数。


成都外国语学校高2014级2月月考
理科数学答案
1-10：DDBBC  AADCB
11、     12、160     13、5    14、1       15、
16、解：(1)由　f(1)＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0，∴b＝2c 
　又由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，将其代入上式，得sinB＝2sinC      
　　∵B－C＝ ∴B＝＋C，将其代入上式，得sin(＋C)＝2sinC
　　　　∴sincosC＋cossinC＝2sinC，整理得，sinC＝cosC，∴tanC＝
　　　　　∵角C是三角形的内角，∴C＝            ---------------6分
　　(2)∵　f(2)＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2＝0，即a2＋b2－2c2＝0  ------7分
　　由余弦定理，得cosC＝＝    
　　∴cosC＝≥＝(当且仅当a＝b时取等号)  ---------------------10分
　　∴cosC≥，∠C是锐角，又∵余弦函数在(0，)上递减，∴0<C≤   ---------12分
　　　 
17、解：（1），，-------2分
     当时，
　　　-----------4分
（2）
　　以上各式相加得，
　　　又故-------------8分
（3）由题意得，
　　当时，
　　　　　　　
　两式相减得，
       
　又，符合上式，------12分
18、解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，
　　　当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
　　　所以
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
　由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为：
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
　　所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59400.
19、解:(1) 在△PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO⊥AD,
　　　又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
　所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形中,易得;
所以以为坐标原点,为轴,为轴,
为轴建立空间直角坐标系.
则,,，;
,易证:,
所以平面的法向量,

所以与平面所成角的余弦值为        …………….4分
（2），设平面PDC的法向量为，
则，取得
点到平面的距离……………….8分

20、解：（1）右焦点为，
　　左焦点为，点在椭圆上
　　
　　，
　　　所以椭圆方程为----------------5分
（2）设 ，
　　
　　------------------------8分
　连接OM，OP，由相切条件知：
----------------------------------11分
　　同理可求
　　所以为定值。-------------13分

21、解：（1）当时，.………………1分
　　因为函数在处存在极值，所以
　解得.………………4分
　　(2) 由（I）得
　　根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.
　　若，则，
　　由是直角得，，即，
即.此时无解；………………6分
若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 同理有，即=0，   .
　　因为函数在上的值域是，
   所以实数的取值范围是.………………8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根，…10分
　　所以仅就时进行研究：方程等价于
　　　　构造函数
  对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，
　　当时取得最大值，其值域是；
   对于部分，函数，由，
　　知函数在上单调递增.
　　
　　所以，①当或时，方程有两个实根；
　　　　　②当时，方程有三个实根；
          ③当时，方程有四个实根. ………………14分

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