2016绵阳一诊理科数学答案及评分标准

绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准【word版理科数学参考答案最后一页下载】
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
　　　CDADD  BACBC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
　　　11． 12． 13．a≥2 14．2     15．①③
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解 ：（1）∵ m⊥n，
　　　∴ m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，
　　　即-cos2α+sinα-sin2α=0． ……………………………………………………3分
　　　由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，
　　　∴ ，k∈Z.…………………………………………………………6分
　　　（2） ∵ m-n=(2cosα，1-2sinα)，
　　　∴ |m-n|=
17．解：（1）由已知an+1=2an+λ，可得an+1+λ=2(an+λ)．
　　　∵ a1=1，
　　　当a1+λ=0，即λ=-1时，an+λ=0，此时{an+λ}不是等比等列．  …………3分
　　　当a1+λ≠0，即λ≠-1时，（常数）．
　　　此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列，
　　　∴ ，于是．   ………………………6分
　　　（2）当λ=1时，an=2n-1，
　　　两边同乘以，得
　　　两式相减得
18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn．
　　　则an =80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n.  ……………………………2分
　　　∴ 当a=10时，an=10n+70，
　　　∴ ，
　　　解得：n>8． ……………………………………………………………………5分
　　　即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分
　　　（2）由题意：，
　　　即 ，………………………………………………8分
　　　整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0，
　　　即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，
　　　化简得80-5a>0，
　　　解得a<16，……………………………………………………………………11分
　　　∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．
　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………………………………12分
19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60º=，.
　　　（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，
　　　由正弦定理可得，即.
　　　                                                         ………………………………………5分
　　　在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，
　　　由正弦定理可得：，即，    …6分
∴   ，      …………………7分
　　　令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，
　　　∵ f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ
　　　由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，
　　　∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，
20．解：（1），
　　　由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，
　　　∴ a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1．
　　　于是，，
　　　得b=3a，c=-6a.  ………………………………………………………………2分
　　　∵ 3ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1}，
∴  f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．
　　　∴ 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，
　　　把b=3a，c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11，
　　　解得a=-1.………………………………………………………………………5分
　　　（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，
x (-∞，-2) -2 (-2，1) 1 (1，+∞)
+ 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
　　　∴  g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分
　　　又∵，g(-2)=10，g(0)=0，
　　　由题意，知直线y=m与曲线仅有一个交点，
　　　于是m=10或0<m<.  ………………………………………………………13分
21．解：（1），
　　　∴当x∈(-1，0)时，，即f(x)在(-1，0)上是增函数，
　　　当x∈(0，+∞)时，，即f(x)在(0，+∞)上是减函数．
　　　∴ f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分