辽宁省五校协作体2014届高三上学期期中考试数学试题试卷(文)(2)

　　
　　19、如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°
　　
　　(1)求证：PC⊥BC
　　(2)求点A到平面PBC的距离．
20、定义在上的函数同时满足以下条件：
　　　　①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
　　　　②是偶函数；
　　　　③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
　　(1)求函数＝的解析式；
　　(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围．.
　　
21、已知线段MN的两个端点M、N分别在轴、轴上滑动，且，点P在线段MN上，满足 ，记点P的轨迹为曲线W．
　　(1)求曲线W的方程，并讨论W的形状与的值的关系；
　　(2)当时，设A、B是曲线W与轴、轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．几何证明选讲
　　如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．
23．极坐标与参数方程
　　已知直线l经过点P，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝cos.
　　(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
　　(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
24．不等式选讲
　　已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
　　(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；
　　(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．

2013——2014学年度上学期省五校协作体高三期中考试
数学试题（文科答案）
一．选择题：
　1.A；2.D；3.C；4.A；5.A；6.B；7.C；8.D；9.A；10.B；11. A；12.D．
二．填空题：
　13．  8 ；   14．1 ；     15．  ；   16．.
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）=
故f（x）max=1，此时，得．
所以取得最大值的x的集合为{x|}．……………………6分
（Ⅱ）由f（B）=，又∵0＜B＜，∴．
由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．
18、(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，
　　所以全班人数为＝25.
　　频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016. …………………4分
　　(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，…………………8分
　　其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，
　　故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6. …………………12分
　　19、(1)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.
　　由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，
　　∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，
　　∴BC⊥PC. ……………………4分
　　(2)设点A到平面PBC的距离为h，
　　∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，
　　∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，
　　∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，
　　∴VP－ABC＝S△ABC·PD＝，……………………6分
　　∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
　　∵PD＝DC＝1，∴PC＝，
　　∵PC⊥BC，BC＝1，
　　∴S△PBC＝PC·BC＝，
　　∵VA－PBC＝VP－ABC，
　　∴S△PBC·h＝，∴h＝，
　　∴点A到平面PBC的距离为.……………………12分
20、解: (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
　　∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分
　　由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分
　　又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分
　　由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分
　　(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－<x2－1
　　即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x          …………………………6分
　　设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分
　　设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝        ……………8分
　　∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减
　　于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0        ……………10分
　　∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分
于是有m>2e－e3为所求．
21、解：（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a2+b2=|MN|2=16，
而由=m有：（x﹣a，y）=m（﹣a，b），解得：，代入得：．. ……………3分
当0时，曲线W的方程为，表示焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；
当时，曲线W的方程为，
表示焦点在y轴上的椭圆．. ……………6分
（2）由（1）当m=时，曲线W的方程是，可得A（3，0），B（0，1）．
设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，
由对称性可得D（﹣x1，﹣y1）．
因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD=|BO|（x1+x1）+|AO|（y1+y1），
即S四边形ACBD=x1+3y1，而，即，. ……………9分
所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2=3. ……………10分