2015南昌一模理科数学试题及答案

南昌市2014—2015学年度高三第一次模拟测试数学（理）试题【word版完整试题最后一页下载】

第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ）
A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限         D．第四象限
2、若集合，，则（   ）
A．                     B．
C．             D．
3、如图，在正四棱柱中，点是面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为（   ）
A．       B．        C．       D．
4、已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取到最大值时，直线的倾斜角为（   ）
A．               B．             C．             D．不存在
5、已知实数，满足，若目标函数的最大值与最小值的差为，则实数的值为（   ）
A．                 B．                C．                  D．
6、在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（   ）
A．                 B．                 C．               D．
7、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（   ）
A．或               B．或              C．           D．
8、如图所示程序框图，其功能是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有（   ）
A．个                 B．个               C．个            D．个
9、给出下列命题：
①若，则
②，，是三个不同的平面，则“，”是“”的充分条件
③已知，则
其中正确命题的个数为（   ）
A．                  B．                  C．                D．
10、如图，，分别是函数（，）的图象与两条直线，（）的两个交点，记，则图象大致是（   ）
A．              B．               C．               D．
11、设无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列的极限为．则四个无穷数列：①；②；③；④，其极限为2共有（   ）
A．个               B．个               C．个              D．个
12、设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为（   ）
A．                  B．                    C．                D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题一第(21)题为必考题，每个考生都必须作答．第(22)题一第(24)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、，，，四封不同的信随机放入，，，个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中没有放入中的概率是         ．
14、已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为         ．
15、已知三角形中，，，，，若是边上的动点，则的取值范围是      ．
16、已知函数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为         ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，，，正项数列满足．
求数列，的通项公式；
若对均成立，求实数的取值范围．
18、（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩服从正态分布（满分为分），已知，，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间，，各有一位同学的概率；
记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，是圆的直径，、是圆上两点，，圆所在的平面， ．
求证：平面；
若与平面所成角的正弦值为时，求的值．

20、（本小题满分12分）已知圆经过椭圆（）的左、右焦点、，且与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．直线交椭圆于，两点，且（）．
求椭圆的方程；
当三角形的面积取到最大值时，求直线的方程．
21、（本小题满分12分）已知函数（）．
当时，求的极值；
若，存在两个极值点，，试比较与的大小；
求证：（，）．
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于，两点，，，的角平分线与和圆分别交于点和．
求证：；
求的值．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数）．
曲线在点处的切线为，求的极坐标方程；
点的极坐标为，且当参数时，过点的直线与曲线有两个不同的交点，试求直线的斜率的取值范围．

24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数（）．
若，解关于的不等式；
若对任意的都有，求的取值范围．
参考答案
一、选择题