2014江苏南京二模,盐城二模数学试题答案(3)
θ,(θ≥时,结论也正确).……………6分
AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2
=sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ …………………………8分
=·+sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+
=+sin(2θ-),θ∈(0,). …………………………12分
当且仅当2θ-=,即θ=时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
此时AM=AN=2,∠PAB=30° …………………………14分
解法三:设AM=x,AN=y,∠AMN=α.
在△AMN中,因为MN=2,∠MAN=60°,
所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN,
即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4. …………………………………………2分
因为=,即=,
所以sinα=y,cosα===. …………………………………………6分
cos∠AMP=cos(α+60°)=cosα-sinα=·-·y=.……………………………8分
在△AMP中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP,
即AP2=x2+4-2×2×x×=x2+4-x(x-2y)=4+2xy.………………………………………12分
因为x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
当且仅当x=y=2时,AP取得最大值2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.………………………………14分
解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN=2,
∴(x1-x2)2+3x=4. …………………………………………2分
MN的中点K(,x2).
∵△MNP为正三角形,且MN=2.∴PK=,PK⊥MN.
∴PK2=(x0-)2+(y0-x2)2=3,
kMN·kPK=-1,即·=-1, …………………………………………6分
∴y0-x2=(x0-),∴(y0-x2)2=(x0-)2
∴(1+)(x0-)2=3,即(x0-)2=3,∴(x0-)2=x.
∵x0->0 ∴x0-=x2,
∴x0=x1+2x2,∴y0=x1. …………………………………………8分
∴AP2=x+y=(2x2+x1)2+x=x+4x+2x1x2
=4+4x1x2≤4+4×2=12, …………………………………………12分
即AP≤2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…………………………14分