湖南长郡中学2015高三月考（一）数学试题及真题试卷

长郡中学2015届高三月考试卷(一)
数  学(理科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.
1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= (    )
A.     B. C.     D. 2 
【解】选C.直接法 由,依题有,即.
2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体
被抽到的概率为(    )
A.     B. C.     D.  
【解】选B.直接法  由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为.
3.设偶函数满足,则(    )
  A.     B. 
  C.     D. 
【解】选C.直接法  当时,由,得,由图象对称性可知选C.
4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为(    )
A.     B. 84                C. D. 36
【解】选B.直接法  由二项式系数之和为,即,又
令,则故常数项为.
5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则 的取值范围是(    )
  A.     B.   C.    D.  
【解】选A.直接法  由条件对应的集合为,
条件对应.且依题意,
可知,又,故.
6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,
则输出的值为(    )
A.     B. 
C.     D. 
【解】选A.直接法  由于输入的初始值为,故
  ,即.故选A.
7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,
则该几何体的体积为(    )
  A.   B.  
C.   D.  
【解】选B.逆推法  由该几何体的
三视图可以借用长方体将其还原
为直观图如右所示,(由简到繁)
由俯视图侧视图正视图直观图,
其为四棱锥,
所以,选B.
8.设,若是的最小值,则的取值范围为(    )
  A. [-1,2]  B. [-1,0]             C. [1,2]  D. [0,2]
【解】选D.直接法  当时,显然不是的最小值,当时,可知时,
  ,而当时,,依题意,得,
  所以即求.
9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是(    )
  A.     B.         C.     D. 
【解】选C.直接法  由得,,又为锐角,故,
  于是,即.于是由余弦定理有,
  即,解得,选C.
【一点开心】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即,
  那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.
10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,
角的始边为射线,终边为射线,过点作直线
的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示
为的函数,则在上的图象大致为(    )

【解】选C.等面积法  由,于是,由三角函数线有,
  ,于是的最大值为,故选C.
二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为        .
【解】填.直接法  由化为直角坐标方程为,于是极点
到该直线的距离为,即求.
12.设均为正数,满足,则的最小值是          .
【解】填 3  .综合法  由可化为,得,
其中运用了重要不等式的变形式,故(当时取等号).
13.数列的前项和为,若,则          .
【解】填.注意:若填为形式则视为错误,得分为0.
  直接法  由……①,可推出,……②
  ①-②式得,,于是,,故.
【反思总结】你这次做到(到位)注意定义域了吗?
14.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则     .
【解】填  1或-2  .综合-分析法  首先作出可行域如右图:
  又目标函数,依题意,所以
①当,即时,依题意有目标直线时,当其运动
至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;
②同理当,即时,必有,即,即,
综上①②可知,或 为所求. 
15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为       .
【解】填.综合法  由,得,如右图所示,
  取中点,连结,则由代点求差公式几何意义知,
  ,又,故,即
【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线
  交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分) 
2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.
(Ⅰ)求这组志愿者的人数;
(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;
(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.
【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;
则依题意有,即…………………………………………2分
  消去得,,当且仅当时,符合正整数条件,
所以,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分
(Ⅱ)记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”,
  于是;…………………………………………………7分
(Ⅲ)随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知
所以随机变量的分布列如下:

17.(本小题满分12分)
如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)设点为单位圆上的动点,点满足
  ,求的取值范围.
【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知,
所以,即求…………………………………5分
(Ⅱ)由三角函数定义知,所以
所以,
又因,故,即,
于是,所以的取值范围是.……………………………………12分