湖南师范大学附中2015高三第一次月考理科数学试题试卷(3)

＝.(6分)
由得：(1＋k²)x²－(2＋2k)x＝0，∴x₁＝，　
∴·＝·(x₂，kx₂)＝(x₁x₂＋k²x₁x₂)＝2(k>0). (9分)
＝2＝2.
设φ(k)＝，φ′(k)＝，
令φ′(k)＝>0，得－1<k<.
又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．
∴当k＝时，φ(k)_max＝φ＝，即·的最大值为2.(13分)
法二：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x₁，kx₁)， Q(x₂，kx₂) 
由得：(1＋2k²)x²＝8，∴x₂＝.(6分)
·＝(＋)·＝·
＝(1，1)·(x₂，kx₂)＝(1＋k)x₂＝2(k>0)(9分)
＝2.
设t＝1＋k(t>1)，则＝＝＝≤.
当且仅当＝时，(·)_max＝2.(13分) 
21．(本题满分13分)
已知函数f(x)＝e^x－ax²－2x－1(x∈R)．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>.
【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝e^x－2x－1(x∈R)，
∵f′(x)＝e^x－2，且f′(x)的零点为x＝ln 2，
∴当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0 
即(－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间．(5分)
(2)由f(x)＝e^x－ax²－2x－1(x∈R)得：f′(x)＝e^x－2ax－2，
记g(x)＝e^x－2ax－2(x∈R)．
∵a<0，∴g′(x)＝e^x－2a>0，即f′(x)＝g(x)是R上的单调增函数，
又f′(0)＝－1<0，f′(1)＝e－2a－2>0，
故R上存在惟一的x₀∈(0，1)，使得f′(x₀)＝0，(8分)
且当x<x₀时，f′(x)<0；当x>x₀时，f′(x)>0.
即f(x)在(－∞，x₀)上单调递减，在(x₀，＋∞)上单调递增，
则f(x)_min＝f(x₀)＝ex₀－ax－2x₀－1，再由f′(x₀)＝0得ex₀＝2ax₀＋2，将其代入前式可得f(x)_min＝
－ax＋2(a－1)x₀＋1(10分)
又令φ(x₀)＝－ax＋2(a－1)x₀＋1＝－a＋＋1
由于－a>0，对称轴x＝>1，而x₀∈，∴φ(x₀)>φ(1)＝a－1
又(a－1)－＝－>0，∴φ(x₀)>
故对任意实数a<0，都有f(x)>.(13分)

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