广西桂林十八中2014届高三上学期第三次月考数学试题答案(理)(2)
三、解答题:
(17)解:由及正弦定理得
, 2分
. 4分
得. 6分
. . 8分
. 10分
(18)解:方法一:
(I)平面平面, . 1分
, 平面. 2分
平面, .
平面 4分
平面,.
又,为的中点. 6分
(II) . 据余弦定理得:. 7分
故. 设点到面的距离为,
则 , 8分
整理得,解得. ……………………………………………………………………… 10分
又,设二面角的大小为,则.………… 11分
故二面角的大小为. ……………………………………………………………12分
方法二:取中点,以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,
. …………………………………………2分
(I)
,即为的中点. ………………………………… 6分
(II) ,设平面的一个法向量为,则
令则. ………………………………… 8分
平面的一个法向量为,
故二面角的大小为. …………………………………………………………12分
(19)解:记答对、甲、乙各题分别为事件,
则…………………………………2分
(I)所求事件的概率为.
答:(I) 该学生被公司聘用的概率为.(II) 该学生答对题目的个数的期望.
(20)【解】(1) 1分
2分
猜想 3分
用数学归纳法证明 6分
或如下求解:
于是是以为首项,为公比的等比数列,
故,即 6分
(21)解:(I)当时,,则,.……………………………………………… 2分
设椭圆方程为,则,又,所以.
所以方程为.
(II) 因为,,则,,设椭圆方程为.………5分
由得, …………………………………………………………6分
即,得代入抛物线方程得,即.
,,
因为的边长恰好是三个连续的自然数,所以.
此时抛物线方程为,,直线方程为.
联立得,即.
所以,代入抛物线方程得,即.………………………………………9分
∴. 设到直线的距离为
则.
当时,,
∴面积的最大值为
所求切线方程为: ……………………5分
⑵即,
即 ……………………7分
设,问题等价于存在,使成立,求的范围;
只须 ……………………9分
设
由,知在上单调递增,故,
即对,恒有,故对,有,
故为所求.
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