广东省惠州市2014届高三第三次调研考数学试题试卷(理科)(2)
于是时,. ………5分
综上,数列的通项. …………………6分
20(本小题满分14分)解:(1)(法1)设,因为点在圆上,
且点关于圆心的对称点为,
所以, …………1分
且圆的直径为.…………2分
由题意,动圆与轴相切,
所以,两边平方整理得:,
所以曲线的方程. ……………………………………6分
(法2)因为动圆过定点且与轴相切,所以动圆在轴上方,
连结,因为点关于圆心的对称点为,所以为圆的直径.
过点作轴,垂足为,过点作轴,垂足为(如图6-1).
在直角梯形中,,
即动点到定点的距离比到轴的距离1.…………………3分
又动点位于轴的上方(包括轴上),
所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等.
故动点的轨迹是以点为焦点,以直线为准线的抛物线.
所以曲线的方程. ……………6分
(2)①(法1)由题意,直线的斜率存在且不为零,如图6-2.
设直线的斜率为(),则直线的斜率为. ………………7分
因为是曲线:上的点,
所以,直线的方程为.
由,解得或,
所以点的坐标为,……………9分
以替换,得点的坐标为. ……………10分
所以直线的斜率为定值.………14分
(法2)因为是曲线:上的点,所以,.
又点、在曲线:上,所以可设,, ……7分
而直线,的倾斜角互补,
所以它们的斜率互为相反数,即,……9分
整理得.……10分 所以直线的斜率…11分
…13分 …14分为定值.………14分
21(本小题满分14分)
解:(1)由得,所以.……2分
由得,故的单调递增区间是,
由得,故的单调递减区间是…………4分
(2)由可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意成立.……5分
由得.
①当时,.
此时在上单调递增.故,符合题意.…6分
②当时,.
当变化时的变化情况如下表:
单调递减 极小值 单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又.
综合①,②得,实数的取值范围是.……9分
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