2015重庆一中高三第二次月考理科数学试题及答案

2014年重庆一中高2015级高三上期第二次月考
数  学  试  题  卷（理科）

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合，则可以确定不同映射的个数为(    )
A. 1   B.2     C. 3   D. 4
2．已知集合，若，则实数a的取值范围是(    )
A．   B．   C．   D． 
3．已知，则是的(    )
 充分不必要条件         必要不充分条件
     充要条件               既不充分也不必要条件
4．函数的部分图象如图所示，
则（    ）
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）
A．　　　　B.　　　C. 　　　  D.
6．方程有解，则的最小值为(    )
     A.2            B.1         C.            D.
7．函数,（）的图像
关于点对称，则的增区间(    )
8．(     )
A. 1            B.           C.         D. 2
9．已知函数的导函数为，且满足，则(    )
A．               B．
C．           D．
10．给定实数，对任意实数均满足，则的零点的个数（    ）
A.0             B. 1             C. 2          D. 3
二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）
11．函数的定义域为______________．
12．在△中，,则的面积_______________．
13．已知定义在R上的函数满足：且，
，则方程在区间[，1]上的所有实根之和为_____________．
14.如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，
AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于_____________．
15．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，
建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的
参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是，
则直线l被圆C截得的弦长为____________．
16．若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分13分）
已知函数f(x)＝．
(1)求f(x)的值域和最小正周期；
(2)方程m[f(x)＋]＋2＝0在内有解，求实数m的取值范围．
18．（本题满分13分）来源：www.gaokw.com
已知函数f(x)＝ax2+bx－a－ab(a≠0)，当时，f(x)>0；当时，f(x)<0．
(1)求f(x)在内的值域；
(2)若方程在有两个不等实根,求c的取值范围．
19.（本题满分13分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，.
    (1)求证：；
    (2)求二面角的余弦值．
20.（本题满分12分）
设函数f(x)＝x3－ax，g(x)＝bx2＋2b－1.
(1)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值；
 (2)当a＝1，b＝0时，求函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间[t，t＋3]内的最小值．
21．（本题满分12分）
已知圆经过椭圆Γ∶的右焦点F，且F到右准线的距离为2．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值．
22．（本题满分12分）
设函数.
    (1)若函数在处有极值，求函数的最大值；
    (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
    (3)证明：不等式．

2014年重庆一中高2015级月考考试（理科）答案
选择题
DAABC  BDCBA
填空题
11.   12.   13．   14.    15. 2    16. 
三、解答题
17解：(1)f(x)＝2sin－.
∵－1≤sin≤1.
∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π，
即f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为π. ……………………………7分
(2)当x∈时，2x＋∈，
故sin∈，
此时f(x)＋＝2sin∈[，2].
由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋＝－，
即≤－≤2，
即解得－≤m≤－1.即实数m的取值范围是………13分
18.解：(1)由题意，是方程ax2+bx－a－ab=0的两根，可得
 则在内的值域为………………………………………7分
      (2)方程即在有两个不等实根，
   设则，解得.…………………………………13分
19.解(1)作BC的中点E，连接
且，四边形是平行四边形，
，则//面
同理，面面
面，面………………………………………6分
(2)四边形为正方形, , 
，    
 由勾股定理可得：， ，
同理可得 ,以A 为原点如图建系。                                 
设面的法向量为，则
，令，则
设面的法向量为，则
则，令，则  
20．解：(1)因为f(x)＝x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1，
所以f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.
因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，
所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，
解得a＝，b＝.              ………………………………………5分
 (2)当a＝1，b＝0时，h(x)＝x3－x－1，b＝，
则由(2)可知，函数h(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(－1，1)．
因为h(－2)＝－，h(1)＝－，所以h(－2)＝h(1)．
①当t＋3<1，即t<－2时，[h(x)]min＝h(t)＝t3－t－1.
②当－2≤t<1时，[h(x)]min＝h(－2)＝－.
③当t≥1时，h(x)在区间[t，t＋3]上单调递增，[h(x)]min＝h(t)＝t3－t－1.
综上可知，函数h(x)在区间[t，t＋3]上的最小值
[h(x)]min＝……………………………12分