北京101中学2014届高三上学期阶段性考试数学试题答案(理科)(2)
2013-10-10 09:44:08
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以或
当时,则接下来只能操作第一行,
此时每列之和分别为
必有,解得
当时,则接下来操作第二行,
此时第4列之和为负,不符合题意。 ……6分
②如果首先操作第一行,则有
则每一列之和分别为,,,
当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉
当时,,至少有一个为负数,
所以此时必须有,即,所以或
经检验,或符合要求
综上: ……9分
(3)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数。证明如下:
记数表中第行第列的实数为(),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,,,数表中个实数之和为,则。记
。
按要求操作一次时,使该行的行之和(或该列的列之和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立。
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