2013乌鲁木齐三模数学试题答案【理科】(2)
2013-04-23 09:42:54
(Ⅱ)以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则有 ,
.
故 .
设平面 的法向量为 ,
则
取 ,则 ,
由 , 知 平面 ,
故 为平面 的法向量,又 ,
则 ,
又二面角 为锐角,故所求二面角的余弦值为 . …12分
19.(Ⅰ)设第 组的频率为 , 由频率分布图知
.
所以成绩在 分以上的同学的概率 ≈ ,
故这 名同学中,取得面试资格的约为 人; …4分
(Ⅱ)成绩在 分以上的同学的人数约为 (人) .
设 人中三题都答对的的人数为 ,则 ,
所以,获得 类资格的人数约为 人;
设 人中三题都答错的的人数为 ,则 ,
所以,获得 类资格的人数约为 (人) . …12分
20.(Ⅰ)由 得 不妨设 ,左焦点为 .
,由直线 过左焦点 ,且倾斜角为 ,可得 ,
所求椭圆 的方程为 ; …5分
(Ⅱ)设 , .
(ⅰ)当 时,有 轴,此时 , ,
,又 ,∴ ,
,∴ ,于是 .
∴ ,故 .
(ⅱ)当 时,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,即 ,记 ,直线 的方程为 ,
点 、 满足 .
∴ , .
∴ ,
.
①若 , 中有一个不存在时,不妨设 不存在,即 轴,此时 .
∵ ,∴ , , 共线,可知 ,∴ ∥ 轴,故 .
②若 , 都存在.
,由 及 ,
代入此式,化简后得 ,故 .
综上所述, . …12分
21.(Ⅰ) .
设 , .
(1)当 时, 无意义,∴ .
(2)当 时, 的定义域为 .
令 ,得 , , 与 的情况如下:
故 的单调递增区间是 ;单调递减区间是 .
(3)当 时, 的定义域为 .
令 ,得 , , 与 的情况如下:
所以 的单调递增区间是 ;单调递减区间是 .…5分
(Ⅱ)(1)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 单调递增,在 单调递减,所以 在 上存在最大值 .下面研究最小值:
由于 的定义域为 .
①若 ,即 时,结合 的定义域可知 在 上没有最小值,不合题意.
②若 ,即 时,∵在 单调递增,∴ 在 存在最小值 ;∵ 在 单调递减,∴ 在 不存在最小值.
所以,要使 在 上存在最小值,只可能是 .
计算整理 .
要使 在 上存在最小值,需且只需 ,
.
∵ ,则问题转化为 , 恒成立.
设 ,则需且只需 ,或 .可解得: